Model plastyczności

Model plastyczności to matematyczny opis zachowania materiału po przekroczeniu granicy sprężystości, gdy odkształcenia stają się trwałe. W analizie MES jest on niezbędny wszędzie tam, gdzie obciążenia powodują nieodwracalne deformacje konstrukcji — od tłoczenia blach, przez analizy zderzeń, po projektowanie elementów pracujących powyżej granicy plastyczności.

Czym jest model plastyczności?

Model plastyczności opisuje zależność między naprężeniem a odkształceniem materiału w zakresie, w którym po zdjęciu obciążenia część odkształcenia nie zanika — pozostaje jako odkształcenie trwałe (plastyczne). Pozwala on przewidzieć, kiedy materiał zacznie się plastycznie deformować, w jaki sposób będzie się odkształcał oraz jak zmienia się jego odporność na dalsze obciążenia.

Zachowanie sprężyste a plastyczne

W zakresie sprężystym zachowanie materiału jest stosunkowo proste do opisania:

• naprężenie rośnie liniowo wraz z odkształceniem,
• po odciążeniu materiał wraca do pierwotnego kształtu,
• do opisu wystarczy moduł Younga i współczynnik Poissona,
• zachowanie nie zależy od historii obciążenia.

Po przekroczeniu granicy plastyczności pojawiają się dodatkowe zjawiska:

• krzywa naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa,
• część odkształcenia jest trwała,
• pojawia się umocnienie materiału (zmiana granicy plastyczności w trakcie odkształcania),
• zachowanie zależy od historii obciążenia (jest „path-dependent”).

Składniki modelu plastyczności

Każdy pełny model plastyczności składa się z trzech podstawowych elementów:

• kryterium uplastycznienia — określa, kiedy materiał zaczyna płynąć plastycznie,
• prawo płynięcia (flow rule) — opisuje kierunek przyrostu odkształcenia plastycznego,
• prawo umocnienia — opisuje, jak zmienia się powierzchnia plastyczności w miarę odkształcania.

Bez wszystkich trzech składników model nie odwzorowuje poprawnie złożonego zachowania materiału.

Kryteria uplastycznienia

Kryterium uplastycznienia to warunek matematyczny określający, kiedy naprężenie osiąga granicę plastyczności. W zależności od typu materiału stosuje się różne kryteria:

• von Misesa — najczęściej stosowane dla metali ciągliwych,
• Tresci — alternatywa dla metali, oparta na maksymalnym naprężeniu stycznym,
• Druckera-Pragera — dla gruntów, betonu i materiałów wrażliwych na ciśnienie hydrostatyczne,
• Mohra-Coulomba — dla gruntów i skał,
• Hilla — dla materiałów anizotropowych, np. blach walcowanych.

Prawa umocnienia

Po przekroczeniu granicy plastyczności materiał zwykle nadal stawia opór, ale jego charakterystyka się zmienia. Sposób tej zmiany opisuje prawo umocnienia:

• umocnienie izotropowe — powierzchnia plastyczności równomiernie się rozszerza, typowe dla obciążeń monotonicznych,
• umocnienie kinematyczne — powierzchnia przesuwa się w przestrzeni naprężeń, opisuje efekt Bauschingera przy obciążeniach cyklicznych,
• umocnienie mieszane — kombinacja obu, najbardziej realistyczna dla obciążeń złożonych.

Wybór prawa umocnienia ma kluczowe znaczenie przy analizach zmęczeniowych i cyklicznych.

Typowe modele plastyczności

W praktyce inżynierskiej i w programach MES stosuje się różne uproszczenia krzywej naprężenie–odkształcenie:

• model idealnie plastyczny — brak umocnienia, naprężenie stałe po uplastycznieniu,
• model dwuliniowy (bilinear) — odcinek sprężysty + odcinek umocnienia o stałym nachyleniu,
• model trójliniowy — trzy odcinki o różnych nachyleniach,
• model wieloliniowy (multilinear) — odwzorowanie rzeczywistej krzywej zestawem odcinków,
• modele potęgowe — Ramberg-Osgood, Hollomon, Ludwik, gładkie funkcje opisujące umocnienie.

Bardziej zaawansowane modele uwzględniają dodatkowo wpływ prędkości odkształcenia, temperatury czy uszkodzenia materiału (np. Johnson-Cook).

Parametry materiałowe

Do zdefiniowania modelu plastyczności w MES potrzebne są typowo:

• moduł Younga i współczynnik Poissona — opis zakresu sprężystego,
• granica plastyczności — początek odkształceń trwałych,
• moduł styczny lub moduł umocnienia — nachylenie krzywej po uplastycznieniu,
• punkty krzywej naprężenie–odkształcenie — przy modelach wieloliniowych,
• współczynniki potęgowe — przy modelach Ramberg-Osgood lub Hollomona.

Wartości tych parametrów uzyskuje się z prób materiałowych, najczęściej z próby rozciągania.

Zastosowanie modeli plastyczności w MES

Modele plastyczności są nieodzowne w analizach, w których obciążenia przekraczają granicę sprężystości. Najczęstsze zastosowania to:

• analizy obróbki plastycznej (tłoczenie, walcowanie, kucie),
• analizy zderzeń i udarów (crash analysis),
• ocena nośności konstrukcji w stanach awaryjnych,
• analiza wytrzymałości połączeń spawanych i śrubowych,
• modelowanie zachowania konstrukcji sejsmicznych,
• analiza zmęczeniowa niskocyklowa.