Macierz sztywności

Pociągnięcie lub ściśnięcie sprężyny śrubowej wzdłuż kierunku podłużnego powoduje jej wydłużenie lub skrócenie. Długość wydłużenia lub ściśnięcia jest proporcjonalna do siły działającej na sprężynę, innymi słowy, jest odwrotnie proporcjonalna do sztywności lub stałej sprężystości, a proporcjonalna do przyłożonego obciążenia. Dowolny trójwymiarowy obiekt można uznać za obiekt, w którym te sprężyny są rozmieszczone w niezliczonej liczbie miejsc. Dlatego długość dowolnego obiektu rozciągniętego lub ściśniętego przez siłę zewnętrzną, czyli jego odkształcenie, jest proporcjonalna do wielkości siły zewnętrznej i odwrotnie proporcjonalna do sztywności obiektu.

Jak powstaje macierz sztywności w metodzie elementów skończonych?

Przypadek, w którym odkształcenie obiektu wykazuje zależność proporcjonalną względem siły zewnętrznej i sztywności, nazywany jest liniowym. Zastosowanie metody elementów skończonych do obiektu, który wykazuje liniowe zachowanie statyczne, sprowadza się do zagadnienia numerycznego rozwiązania równania macierzowego [K]{u} = {F}.

Poniżej przedstawiono znaczenie poszczególnych oznaczeń:

• [K] – macierz sztywności,
• {F} – wektor obciążenia,
• {u} – wartość nieznana, czyli przybliżona wartość odkształcenia obiektu.

Nazwa tej macierzy pochodzi z mechanicznego zachowania opisanej wcześniej sprężyny śrubowej. Tak jak w przypadku sprężyny, macierz sztywności odzwierciedla stopień „twardości” obiektu, który zależy od:

• rodzaju materiału
• grubości obiektu
• struktury geometrycznej modelu

Jak obliczana jest macierz sztywności?

Macierz sztywności obliczana jest przez zsumowanie wkładów od każdego elementu skończonego w siatce, a macierz sztywności dla pojedynczego elementu nazywana jest macierzą sztywności elementu.