Prawo Hooke’a – podstawowe pojęcia

Gdy na obiekt działa siła lub moment zewnętrzny, zmianie ulega nie tylko jego położenie i kształt, ale również w jego wnętrzu generowany jest opór wewnętrzny. Opór ten opisuje się za pomocą naprężenia, natomiast stopień zmiany kształtu obiektu określany jest jako odkształcenie. Pomiędzy tymi wielkościami istnieje ścisła zależność, która w pewnym zakresie przyjmuje postać liniową.

Zależność tę jako pierwszy opisał brytyjski mechanik i filozof przyrody Robert Hooke (1635–1703), badając relację pomiędzy siłą działającą na sprężynę a jej wydłużeniem. Odkrył on, że w zakresie sprężystym siła jest proporcjonalna do deformacji, a współczynnikiem proporcjonalności jest stała sprężystości.

Uogólnienie prawa Hooke’a

Rozciąganie sprężyny jest deformacją jednowymiarową. Aby przenieść to zachowanie na obiekty trójwymiarowe, konieczne jest uwzględnienie efektu Poissona. Oznacza to, że:

• rozciąganie w jednym kierunku powoduje skrócenie w dwóch pozostałych,
• naprężenie w jednym kierunku wpływa na odkształcenia w trzech kierunkach,
• stan naprężenia i odkształcenia ma charakter tensorowy.

W przypadku materiałów sprężystych zachowanie to można opisać za pomocą właściwości materiałowych.

Właściwości materiałowe w prawie Hooke’a

W trójwymiarowym ujęciu prawa Hooke’a zachowanie materiału opisują podstawowe parametry:

• moduł sprężystości (moduł Younga) – określa sztywność materiału przy rozciąganiu i ściskaniu,
• współczynnik Poissona – opisuje zależność pomiędzy odkształceniami w kierunkach prostopadłych,
• moduł ścinania – alternatywny parametr opisujący sztywność materiału przy ścinaniu.

Parametry te definiują liniową relację pomiędzy naprężeniem a odkształceniem w zakresie sprężystym materiału.

Prawo Hooke’a w analizach MES

W metodzie elementów skończonych (MES) prawo Hooke’a stanowi podstawę większości analiz liniowo-sprężystych. W takim podejściu:

• zakłada się liniową zależność naprężenie–odkształcenie,
• właściwości materiałowe są stałe w całym zakresie obciążeń,
• po odciążeniu obiekt powraca do pierwotnego kształtu.

Prawo Hooke’a obowiązuje jedynie do momentu przekroczenia granicy sprężystości. Po jej przekroczeniu materiał wykazuje nieliniowość materiałową, a relacja naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa.