Zredukowane całkowanie

Techniki analizy numerycznej, takie jak metoda elementów skończonych, przekształcają matematyczne reprezentacje zjawisk naturalnych (głównie równania różniczkowe) na równania macierzowe i uzyskują rozwiązania przybliżone za pomocą komputera.

Każda macierz wchodząca w skład równania macierzowego jest obliczana za pomocą analizy numerycznej wykonywanej komputerowo. W szczególności, całkowanie numeryczne stosowane w metodzie elementów skończonych wykorzystuje dokładne całkowanie numeryczne bez błędu, w przeciwieństwie do ogólnego całkowania numerycznego. Powodem tego jest fakt, że nawet niewielki błąd całkowania numerycznego kumuluje się podczas rozwiązywania równania macierzowego i powoduje błąd analizy numerycznej, który jest nieakceptowalny w końcowym wyniku analizy numerycznej.

Dla dokładnego całkowania numerycznego punkt próbkowania, który przyjmuje rzeczywistą wartość funkcji, oraz waga dla tego punktu muszą być matematycznie wyprowadzone.

Najczęściej stosowane metody wyznaczania punktów próbkowania i wag w całkowaniu numerycznym to m.in.:

• reguła kwadratury Gaussa
• reguła kwadratury Lobatto
• inne metody kwadratury zależne od wymagań dokładności i rodzaju funkcji

Liczba punktów próbkowania oraz wartość wag używana do dokładnego całkowania numerycznego rośnie proporcjonalnie do stopnia funkcji, która ma być całkowana.

Na czym polega zredukowane całkowanie i kiedy się je stosuje?

Redukowane całkowanie odnosi się do całkowania numerycznego z użyciem liczby punktów próbkowania mniejszej niż liczba punktów potrzebnych do dokładnego i numerycznego całkowania funkcji. Oznacza to, że ma ono na celu celowe obliczenie wartości całki mniejszej niż dokładna wartość całki.