Analiza liniowa

Jeżeli zmiana wartości wpływającej na właściwość obiektu, powoduje proporcjonalną zmianę tej właściwości, mówi się o zależności liniowej. Zarówno w matematyce, jak i w fizyce, liniowość definiuje się za pomocą zasady superpozycji. Niech P(x) i P(y) będą reakcjami obiektu na oddziaływania x i y (np. odkształcenia pod działaniem sił). Istnieje zależność liniowa, jeśli dla dowolnych stałych i spełniony jest warunek:

P(ax +by) = aP(x)+bP(Y)

Jest to tzw. zasada superpozycji.

Na czym polega analiza liniowa i kiedy można ją zastosować?

Rozwiązywanie problemów fizycznych, w których występuje zachowanie liniowe, określa się mianem analizy liniowej. Analiza liniowa ma kilka istotnych zalet w porównaniu z analizą nieliniową, w tym m.in.:

• prostszy opis matematyczny układu
• krótszy czas obliczeń i mniejsze wymagania obliczeniowe
• możliwość uzyskania rozwiązania w pojedynczym kroku
• stałą macierz sztywności [K], niezależną od przemieszczeń {u}
• większą stabilność i przewidywalność wyników

Jedną z jej głównych zalet jest to, że wynik można zwykle uzyskać w pojedynczym kroku obliczeniowym.

Analizy liniowe a równania macierzowe

W metodzie elementów skończonych problemy liniowe opisuje się równaniem macierzowym:

[K]{u} = {F}

gdzie [K]  – macierz sztywności,  – {u} wektor przemieszczeń (szukane),  – {F} wektor sił.

W przypadku analizy liniowej macierz [K] pozostaje stała i nie zależy od {u}, dzięki czemu można odwrócić macierz i wyliczyć wynik za pomocą działania:

{u} = [K]⁻¹{F}

W przypadku analizy nieliniowej sytuacja jest bardziej złożona, ponieważ macierz [K]  zależy od poszukiwanego rozwiązania {u}. Oznacza to, że rozwiązanie nie może zostać uzyskane w jednym kroku i wymaga iteracyjnych metod obliczeniowych, co zwiększa zarówno złożoność, jak i czas potrzebny na analizę.