Belka Timoshenki

W inżynierii od dawna rozwijane są teorie opisujące ugięcie i zachowanie belek pod wpływem obciążeń. Najbardziej podstawową z nich jest teoria belki Eulera–Bernoulliego, która zakłada, że ugięcie konstrukcji wynika wyłącznie ze zginania i pomija wpływ odkształceń postaciowych, czyli poprzecznych odkształceń ścinających w kierunku grubości elementu.

Jednak gdy stosunek grubości przekroju do długości belki rośnie (belka staje się względnie krótka i „gruba”), wpływ odkształceń ścinających staje się istotny, a dokładność teorii Eulera–Bernoulliego wyraźnie maleje.

Na czym polega teoria belki Timoshenki?

Aby przezwyciężyć to ograniczenie, S.P. Timoshenko (1878–1972) zaproponował teorię belki, która uwzględnia zarówno odkształcenia zginające, jak i poprzeczne odkształcenia ścinające. Dzięki temu belka Timoshenki jest bardziej ogólna i dokładniejsza w analizie krótkich lub grubych belek oraz elementów, w których siły tnące mają duży udział w ugięciu.

W teorii Timoshenki ugięcie i obrót przekroju poprzecznego są traktowane jako niezależne wielkości, co pozwala odtworzyć deformację ścinającą, pomijaną w podejściu Eulera–Bernoulliego.

Stopnie swobody w elemencie belki Timoshenki

W ujęciu MES (więcej informacji na stronie: Obliczenia MES) element belki Timoshenki posiada w każdym węźle dwa podstawowe stopnie swobody:

• przemieszczenie poprzeczne (ugięcie),
• obrót przekroju poprzecznego (nachylenie).

Takie sformułowanie umożliwia niezależne modelowanie ugięcia od zginania oraz ugięcia od ścinania, co zwiększa dokładność symulacji w porównaniu do prostszych modeli belkowych.

Porównanie z belką Eulera–Bernoulliego

Różnica między teoriami sprowadza się do tego, czy deformacja ścinająca jest uwzględniana:

• w teorii Eulera–Bernoulliego przyjmuje się, że przekrój obraca się zgodnie z kątem stycznej do linii ugięcia, a odkształcenia ścinające są pomijane,
• w teorii Timoshenki obrót przekroju jest niezależną niewiadomą, co pozwala uwzględnić wpływ ścinania.

W praktyce oznacza to, że belka Timoshenki zapewnia bardziej wiarygodne wyniki dla belek krótkich, grubych oraz obciążonych dużymi siłami tnącymi.