Nieliniowość geometryczna

Gdy na obiekt działa zewnętrzna siła lub moment, a powstające przemieszczenia bądź obroty osiągają znaczne wartości, obiekt wykazuje nieliniowość geometryczną. Termin ten odnosi się do sytuacji, w których zmiany położenia, rotacje lub odkształcenia nie mogą być już opisywane za pomocą zależności liniowych.

W praktyce często mówi się o problemach z dużymi deformacjami, jednak duże przemieszczenia lub znaczne obroty nie zawsze oznaczają duże odkształcenia. Odkształcenie może pozostać niewielkie, nawet gdy obiekt wykonuje duży ruch w przestrzeni.

Duże przemieszczenia a małe odkształcenia

Dobrym przykładem jest cienka metalowa płyta zamocowana jednym końcem do ściany i obciążona siłą skupioną na drugim końcu. Wraz ze wzrostem obciążenia płyta może:

• ulec znacznemu przemieszczeniu,
• wykazywać duże obroty,
• zmienić swoje położenie przestrzenne.

Jednocześnie względne zmiany położenia punktów w materiale mogą pozostać małe, co oznacza niewielkie odkształcenia. Takie przypadki klasyfikuje się jako problemy:

• z dużymi przemieszczeniami,
• z małymi (mikroskopijnymi) odkształceniami.

Mimo to duże przemieszczenia i obroty prowadzą do istotnych zmian geometrii obiektu, a tym samym do wystąpienia nieliniowości geometrycznej.

Nieliniowość geometryczna w analizie MES

Nieliniowość wynikająca ze zmian kształtu i orientacji obiektu określana jest właśnie jako nieliniowość geometryczna. W analizach metodą elementów skończonych należy ją uwzględnić szczególnie wtedy, gdy:

• geometria obiektu znacząco zmienia się w trakcie obciążania,
• kierunek przyłożonej siły zmienia się wraz z deformacją (np. siła podążająca),
• występują duże obroty elementów.

W MES problemy nieliniowości geometrycznej formułuje się zazwyczaj w oparciu o:

• całkowitą formulację Lagrange’a,
• zaktualizowaną formulację Lagrange’a.

W formulacji całkowicie Lagrange’owskiej zamiast naprężeń Cauchy’ego stosuje się naprężenia odniesione do konfiguracji początkowej, znane jako naprężenia Piola–Kirchhoffa.