Teoria Mindlina–Reissnera

Elementy płytowe i powłokowe, powszechnie wykorzystywane w analizie metodą elementów skończonych (MES) cienkościennych struktur, opierają się na teorii Mindlina–Reissnera. Teoria ta stanowi rozwinięcie wcześniejszych założeń Kirchhoffa–Love’a, które były stosowane dla struktur uznawanych za idealnie cienkie.

Teorię Mindlina–Reissnera opracowali amerykańscy inżynierowie:

• Raymond Mindlin (1906–1987),
• Hans Reissner (1874–1967).

Ograniczenia teorii Kirchhoffa–Love’a

W teorii Kirchhoffa–Love’a zakłada się, że:

• odkształcenia postaciowe w kierunku grubości są pomijalne,
• naprężenia postaciowe w tym kierunku nie występują.

Założenia te są poprawne wyłącznie wtedy, gdy grubość elementu jest bardzo mała w porównaniu z jego wymiarami w płaszczyźnie. Jeżeli grubość nie jest zaniedbywalna, dokładność analizy znacząco spada.

Założenia teorii Mindlina–Reissnera

Teoria Mindlina–Reissnera uwzględnia:

• odkształcenia postaciowe w kierunku grubości,
• naprężenia postaciowe wynikające z tych odkształceń.

Dzięki temu możliwa jest analiza struktur o niewielkiej, lecz niezerowej grubości, co czyni tę teorię znacznie bardziej uniwersalną w praktyce inżynierskiej.

Należy jednak zaznaczyć, że teoria ta przyjmuje uproszczony rozkład odkształceń i naprężeń postaciowych w kierunku grubości, który odbiega od rzeczywistego rozkładu tych wielkości.

Rozkład naprężeń postaciowych i współczynnik korekcji ścinania

W rzeczywistości rozkład odkształcenia i naprężenia postaciowego w kierunku grubości ma kształt eliptyczny:

• maksymalna wartość występuje w osi obojętnej,
• wartości na górnej i dolnej powierzchni są równe zeru.

Aby skompensować rozbieżność pomiędzy uproszczeniami teorii Mindlina–Reissnera a rzeczywistym rozkładem naprężeń, wprowadza się współczynnik korekcji ścinania. Jest on niezbędny przy obliczaniu naprężeń postaciowych na podstawie odkształceń postaciowych w elementach:

• płytowych,
• powłokowych.

W praktyce inżynierskiej wartość tego współczynnika najczęściej przyjmuje się jako 5/6, choć dokładnie może on być wyrażony jako funkcja pola przekroju poprzecznego oraz grubości elementu.