Warunek brzegowy symetrii

Jeżeli obiekt lub zjawisko jest symetryczne względem określonej płaszczyzny, oznacza to, że jego kształt lub zachowanie po obu stronach tej płaszczyzny jest identyczne. Przykładem może być cienki, prostokątny obiekt, w którym rozkład temperatury jest symetryczny względem osi środkowej – wówczas rozkład po lewej i prawej stronie obiektu jest taki sam.

Tego typu zagadnienia określa się mianem problemów symetrycznych. Symetria pozwala znacząco uprościć analizę numeryczną, ponieważ zamiast modelować cały obiekt, można rozpatrywać jedynie jego część. Taki model nazywany jest modelem symetrycznym i jest powszechnie stosowany w metodzie elementów skończonych (MES) w celu skrócenia czasu obliczeń.

Idea warunku brzegowego symetrii

Aby zredukowany model poprawnie odwzorowywał zachowanie całego obiektu, konieczne jest spełnienie odpowiednich warunków brzegowych symetrii. Są one nakładane na płaszczyznę, wzdłuż której dokonano „cięcia” modelu.

Warunek brzegowy symetrii obejmuje jednocześnie:

• warunek przemieszczenia,
• warunek obciążeniowy.

Tylko jednoczesne spełnienie tych dwóch warunków gwarantuje poprawność wyników analizy.

Składowe warunku brzegowego symetrii

Na płaszczyźnie symetrii muszą zostać spełnione następujące warunki:

• brak przemieszczenia prostopadłego do płaszczyzny symetrii,
• zerowe naprężenia styczne (ścinające) działające w tej płaszczyźnie.

Pierwszy z tych warunków oznacza, że punkty leżące na płaszczyźnie symetrii nie mogą się przemieszczać w kierunku normalnym do tej płaszczyzny. Drugi warunek zapewnia, że po obu stronach płaszczyzny nie występują siły ścinające.

Znaczenie w mechanice konstrukcji i MES

W mechanice konstrukcji warunek braku przemieszczenia prostopadłego do płaszczyzny symetrii nazywany jest warunkiem nieprzenikania. Natomiast warunek obciążeniowy oznacza, że po obu stronach płaszczyzny symetrii nie mogą występować ani siły aktywne, ani reakcje.

W analizach MES poprawne zastosowanie warunku brzegowego symetrii pozwala:

• zmniejszyć rozmiar modelu obliczeniowego,
• skrócić czas analizy,
• ograniczyć zapotrzebowanie na zasoby obliczeniowe,
• zachować pełną zgodność wyników z analizą pełnego modelu.