Element membranowy

Element membranowy to typ elementu skończonego służący do modelowania bardzo cienkich powłok, które przenoszą wyłącznie obciążenia działające w płaszczyźnie elementu — czyli rozciąganie, ściskanie i ścinanie w płaszczyźnie. W przeciwieństwie do elementów powłokowych nie przenoszą one momentów zginających ani sił poprzecznych prostopadłych do powierzchni.

Czym jest element membranowy?

Element membranowy reprezentuje cienką powierzchnię modelowaną jako płaszczyzna obojętna obiektu. Ma on stopnie swobody odpowiadające jedynie przemieszczeniom w jej płaszczyźnie, a jego sztywność jest definiowana wyłącznie dla zachowania w płaszczyźnie. Klasycznym fizycznym przykładem jest bańka mydlana lub naciągnięta cienka folia — ich grubość jest na tyle mała, że sztywność zginania można pominąć.

Warto jednak rozróżnić dwa znaczenia tego pojęcia:

• stan membranowy w teorii powłok — opisuje samo zachowanie w płaszczyźnie, niezależnie od typu elementu,
• element membranowy — konkretny typ elementu skończonego, w którym celowo pominięto sztywność zginania.

Zachowanie mechaniczne — co przenosi membrana

W standardowej, liniowej formulacji element membranowy przenosi:

• siły rozciągające w płaszczyźnie,
• siły ściskające w płaszczyźnie,
• ścinanie w płaszczyźnie.

Nie przenosi natomiast:

• momentów zginających,
• sił poprzecznych prostopadłych do powierzchni,
• momentów skręcających związanych z osią prostopadłą do powierzchni.

Należy podkreślić, że często powtarzane stwierdzenie „membrana przenosi tylko rozciąganie” odnosi się do zachowania fizycznych membran (folia, tkanina), które pod ściskaniem marszczą się i tracą stateczność. W standardowym elemencie membranowym MES sztywność w ściskaniu jest taka sama jak w rozciąganiu. Efekt marszczenia uzyskuje się dopiero przy specjalnej formulacji (membrana „tension-only”) lub w analizie nieliniowej.

Element membranowy a element powłokowy

Element membranowy można traktować jako uproszczony element powłokowy pozbawiony sztywności zginania. Najważniejsze różnice to:

• powłoka przenosi zarówno obciążenia w płaszczyźnie, jak i zginanie; membrana tylko obciążenia w płaszczyźnie,
• powłoka ma stopnie swobody translacyjne i rotacyjne; membrana tylko translacyjne,
• powłoka ma więcej stopni swobody na węzeł, co podnosi koszt obliczeń,
• membrana wymaga modelu, w którym zginanie nie odgrywa istotnej roli.

Stopnie swobody

W typowej formulacji 3D element membranowy ma w każdym węźle trzy translacyjne stopnie swobody (u, v, w), bez stopni rotacyjnych. Pozwala to opisać dowolne przemieszczenia w przestrzeni przy zachowaniu sztywności wyłącznie w płaszczyźnie elementu.

Zastosowanie w MES

Elementy membranowe są stosowane wszędzie tam, gdzie zginanie można pominąć, a dominują obciążenia działające w płaszczyźnie. Typowe zastosowania to:

• konstrukcje pneumatyczne i nadmuchiwane (poduszki powietrzne, balony),
• naciągnięte tkaniny i folie techniczne,
• cienkie poszycia, w których zginanie nie ma znaczenia konstrukcyjnego,
• zbrojenie w modelach żelbetowych (siatki i pręty rozłożone na powierzchni),
• pomocnicze warstwy w modelach kompozytowych,
• modelowanie cienkich powłok zbiorników pod ciśnieniem.

Zalety i ograniczenia

Zalety:

• mniejsza liczba stopni swobody niż w elementach powłokowych,
• niższy koszt obliczeniowy i krótszy czas analizy,
• prosta interpretacja wyników w przypadku obciążeń płaszczyznowych,
• dobre odwzorowanie cienkich konstrukcji rozciąganych.

Ograniczenia:

• brak sztywności zginania ogranicza zastosowanie do konstrukcji bardzo cienkich,
• standardowa formulacja nie odwzorowuje zjawiska marszczenia bez dodatkowych zabiegów,
• niewłaściwe użycie zamiast elementu powłokowego prowadzi do zaniżenia sztywności konstrukcji,
• wymaga świadomej decyzji projektowej, kiedy zginanie można pominąć.