Zależności konstytutywne

Zależności konstytutywne to równania opisujące, jak dany materiał reaguje na działające na niego pole fizyczne — naprężenie, gradient temperatury, ciśnienie czy pole elektryczne. Wraz z prawami zachowania i zależnościami kinematycznymi stanowią podstawę mechaniki ośrodków ciągłych i są niezbędnym elementem każdej analizy metodą elementów skończonych.

Czym jest zależność konstytutywna?

Zależność konstytutywna to równanie wiążące dwie wielkości fizyczne charakterystyczne dla danego zjawiska — na przykład naprężenie z odkształceniem albo strumień ciepła z gradientem temperatury. Opisuje ona zachowanie samego materiału, niezależnie od geometrii konstrukcji.

Klasycznym przykładem jest prawo Hooke’a, według którego naprężenie w materiale jest proporcjonalne do odkształcenia, a współczynnikiem proporcjonalności jest moduł sprężystości materiału. Warto przy tym rozróżnić:

• moduł sprężystości (np. moduł Younga) — cechę materiału,
• sztywność konstrukcji — wielkość zależną zarówno od materiału, jak i od geometrii.

Trzy filary opisu ośrodka ciągłego

Aby zbudować pełny model matematyczny zachowania konstrukcji, potrzebne są trzy rodzaje zależności:

• prawa zachowania — masy, pędu, energii, momentu pędu,
• zależności kinematyczne — wiążące przemieszczenia z odkształceniami,
• zależności konstytutywne — opisujące właściwości materiału.

Dopiero połączenie tych trzech grup równań daje układ pozwalający rozwiązać konkretne zagadnienie inżynierskie, na przykład w MES.

Przykłady zależności konstytutywnych

Każda dziedzina fizyki ma swoje własne zależności konstytutywne, odkryte i potwierdzone eksperymentalnie. Najważniejsze z nich to:

• prawo Hooke’a — wiąże naprężenie z odkształceniem w mechanice ciał stałych,
• prawo Fouriera — wiąże strumień ciepła z gradientem temperatury,
• prawo Darcy’ego — opisuje przepływ płynu przez ośrodek porowaty,
• prawo Ohma — wiąże gęstość prądu z polem elektrycznym,
• prawo Ficka — opisuje dyfuzję masy,
• prawo lepkości Newtona — wiąże naprężenia styczne z prędkością odkształcenia w płynach.

Każda z tych zależności jest wyrażona przez charakterystyczną właściwość materiałową, której wartość określa się eksperymentalnie.

Właściwości materiałowe

Właściwości materiałowe to mierzalne cechy danego materiału, które pojawiają się w jego zależności konstytutywnej. Typowe parametry to:

• moduł Younga i współczynnik Poissona — w liniowej sprężystości izotropowej,
• przewodność cieplna — w prawie Fouriera,
• przepuszczalność — w prawie Darcy’ego,
• przewodność elektryczna — w prawie Ohma,
• granica plastyczności i moduł umocnienia — w modelach plastyczności,
• stałe materiałowe modeli hipersprężystych — np. dla gum i elastomerów.

Dobór wartości tych parametrów ma bezpośredni wpływ na wynik analizy MES — często większy niż wybór samej formuły elementu.

Modele liniowe i nieliniowe

Prawo Hooke’a jest najprostszą i najczęściej stosowaną zależnością konstytutywną, ale opisuje zachowanie materiału tylko w zakresie liniowo-sprężystym. W rzeczywistości materiały mogą wykazywać znacznie bardziej złożone zachowanie:

• plastyczność — trwałe odkształcenia po przekroczeniu granicy plastyczności,
• hipersprężystość — duże odwracalne odkształcenia gum i elastomerów,
• lepkosprężystość — zależność odpowiedzi od czasu i prędkości obciążenia,
• pełzanie i relaksacja — zmiana odkształceń lub naprężeń w czasie,
• uszkodzenie i pękanie — degradacja właściwości materiału,
• anizotropia — różne właściwości w różnych kierunkach (np. kompozyty).

Każdemu z tych zachowań odpowiada osobny model konstytutywny, dostępny w komercyjnych programach MES.

Zastosowanie zależności konstytutywnych w MES

W metodzie elementów skończonych zależności konstytutywne pojawiają się na etapie obliczania macierzy sztywności elementu oraz wyznaczania pól wyjściowych — naprężeń, strumieni czy ciśnień. Mają one bezpośredni wpływ na:

• dokładność wyników naprężeń i odkształceń,
• zbieżność rozwiązania w analizach nieliniowych,
• realizm modelowania zjawisk takich jak plastyczność czy kontakt,
• dobór odpowiednich parametrów materiałowych w preprocesorze.