Metoda bezsiatkowa

Najważniejszą cechą i zaletą metody elementów skończonych (MES), szeroko stosowanej do numerycznych symulacji złożonych kształtów, jest możliwość systematycznego zdefiniowania funkcji interpolacyjnej na siatce elementów. Każdy element i węzeł muszą zachowywać między sobą odpowiednią łączność, co czyni siatkę spójną i poprawnie odzwierciedlającą geometrię analizowanego obiektu.

Problem pojawia się jednak w momencie wzrostu złożoności kształtu. Czas potrzebny na wygenerowanie siatki rośnie wykładniczo, a w praktyce bardzo często to właśnie proces siatkowania pochłania większość czasu przygotowania zadania numerycznego w klasycznej analizie MES.

Dlaczego powstała metoda bezsiatkowa?

Aby przezwyciężyć ograniczenia wynikające z konieczności tworzenia siatki, opracowano metodę bezsiatkową. W przeciwieństwie do MES, geometria obiektu nie jest dzielona na mniejsze elementy, lecz opisywana za pomocą zbioru punktów rozmieszczonych w obszarze. Każdy punkt działa jako lokalne centrum interpolacji.

Najważniejsze cechy podejścia bezsiatkowego:

• rozwiązanie przybliżone tworzone jest na podstawie ograniczonej liczby punktów,
• każda funkcja interpolacyjna działa tylko w lokalnym obszarze,
• lokalne obszary nie muszą stykać się i nie wymagają łączności elementowej,
• znikają problemy związane z tworzeniem siatki o dużej złożoności.

Takie podejście znacząco upraszcza analizę geometrii deformowalnych lub mocno nieregularnych obiektów.

Zalety i ograniczenia metody bezsiatkowej

Choć metoda bezelementowa (bezsiatkowa) eliminuje jedną z największych bolączek MES, wprowadza też nowe wyzwania.

Zalety metody bezsiatkowej:

• brak konieczności generowania siatki,
• większa elastyczność przy analizie skomplikowanych i deformujących się kształtów,
• możliwość łatwiejszego modelowania zjawisk, w których elementy mogą się „rozpadać” lub silnie odkształcać.

Ograniczenia metody bezsiatkowej:

• trudności z numerycznym całkowaniem,
• skomplikowane narzędzia do narzucania warunków brzegowych,
• większe koszty obliczeniowe na etapie tworzenia funkcji aproksymacyjnych.

Rozwiązania stosowane w metodzie bezsiatkowej

Aby przezwyciężyć problemy związane z całkowaniem i warunkami brzegowymi, wykorzystuje się dodatkowe techniki. W praktyce metoda bezsiatkowa jest wykorzystywana:

• do całkowania numerycznego wprowadza się kwadraturę Gaussa,
• często stosuje się klasyczne elementy skończone jako nośnik pól całkowania,
• przy nakładaniu warunków brzegowych używa się metod takich jak metoda kar.

Mimo tych udoskonaleń, metoda bezelementowa wciąż pozostaje trudna do zastosowania, szczególnie w przypadku:

• dużych i złożonych modeli 3D,
• geometrii o nieregularnym kształcie,
• problemów, które wymagają systematycznego i równomiernego rozmieszczenia punktów w całym obszarze.