Zniekształcony element

Zniekształcony element to element skończony o tak nieregularnym kształcie, że jego matematyczne odwzorowanie staje się błędne lub niemożliwe. Najczęściej rozpoznaje się go po wartości wyznacznika jakobianu — zerowej lub ujemnej — co skutkuje przerwaniem obliczeń lub znacznym pogorszeniem dokładności wyników analizy MES.

Czym jest zniekształcony element?

W metodzie elementów skończonych każdy element ma określony, dopuszczalny kształt: trójkąt, czworokąt, czworościan, sześcian itp. Gdy w procesie generowania siatki element zostanie zbyt mocno odkształcony — na przykład jego krawędzie zaczynają się przecinać, kąty są zbyt ostre lub rozwarte, a stosunek boków staje się skrajny — mówimy o elemencie zniekształconym. Taki element przestaje poprawnie reprezentować obszar konstrukcji, który ma odwzorowywać.

Element wzorcowy i transformacja geometrii

W MES rozwiązanie przybliżone buduje się jako sumę funkcji bazowych (kształtu) zdefiniowanych w obrębie każdego elementu. Współczynniki tych funkcji to wartości węzłowe wyznaczane z układu równań [K]{u} = {F}.

Ponieważ rzeczywiste elementy w siatce mają różne kształty i położenia, obliczenia całkowe wykonuje się nie na nich, lecz na tzw. elemencie wzorcowym (referencyjnym) — odcinku, kwadracie lub sześcianie o ustalonej geometrii. Powiązanie elementu rzeczywistego z elementem wzorcowym odbywa się przez transformację współrzędnych. Pozwala to:

• ujednolicić procedurę numeryczną dla wszystkich elementów,
• stosować standardowe kwadratury Gaussa do całkowania,
• automatycznie obsługiwać dowolne kształty elementów w siatce.

Jakobian i jego znaczenie fizyczne

Kluczowym elementem transformacji między elementem wzorcowym a rzeczywistym jest macierz Jakobiego, a dokładniej jej wyznacznik — jakobian. Określa on lokalny stosunek miary elementu rzeczywistego do miary elementu wzorcowego, czyli:

• stosunek długości w zagadnieniach 1D,
• stosunek pól w zagadnieniach 2D,
• stosunek objętości w zagadnieniach 3D.

Z fizycznego punktu widzenia jakobian musi być dodatni — wartość zerowa oznaczałaby brak miary, a ujemna lokalne „odwrócenie” elementu, co nie ma sensu geometrycznego.

Kiedy jakobian staje się zerowy lub ujemny?

Zerowy lub ujemny jakobian pojawia się, gdy element jest zbyt mocno zniekształcony. Najczęstsze przyczyny to:

• skrajny stosunek długości boków (duży aspect ratio),
• bardzo małe lub bardzo duże kąty wewnętrzne,
• nadmierne wypaczenie (warp) elementów płaskich i bryłowych,
• skręcenie elementów wokół własnej osi,
• automatyczne generowanie siatki w geometrii o ostrych narożach lub cienkich obszarach,
• ręczne przemieszczenie węzłów poza dopuszczalne położenie.

Skutki zniekształcenia elementu

Konsekwencje obecności zniekształconych elementów zależą od stopnia deformacji:

• przy umiarkowanym zniekształceniu — pogorszenie dokładności wyników, lokalne błędy naprężeń, słabsza zbieżność,
• przy silnym zniekształceniu — znaczne zafałszowanie pola naprężeń i odkształceń,
• przy zerowym lub ujemnym jakobianie — przerwanie obliczeń lub brak możliwości rozwiązania układu [K]{u} = {F},
• w analizach nieliniowych — utrata zbieżności już przy mniejszych zniekształceniach niż w analizie liniowej.

W praktyce program MES najczęściej zgłasza błąd już na etapie sprawdzania siatki lub w trakcie składania macierzy sztywności.

Miary jakości siatki

Aby ocenić, czy elementy są dopuszczalne, stosuje się wskaźniki jakości siatki:

• aspect ratio — stosunek najdłuższego do najkrótszego boku,
• skewness — odchylenie kątów od kątów idealnych,
• warpage — wypaczenie elementów płaskich,
• jacobian ratio — stosunek najmniejszej do największej wartości jakobianu w obrębie elementu,
• taper — stopień zwężenia elementów czworokątnych,
• minimum i maximum angle — graniczne kąty wewnętrzne.

Każdy program MES ma własne zalecane progi tych wskaźników, których przekroczenie sygnalizuje element niskiej jakości.

Jak unikać zniekształceń?

Aby uniknąć problemów z jakobianem i jakością siatki, warto:

• stosować lokalne zagęszczenie siatki w obszarach o złożonej geometrii,
• używać elementów drugiego rzędu w obszarach o dużych gradientach,
• unikać bardzo ostrych naroży w geometrii (modelować zaokrąglenia),
• weryfikować jakość siatki narzędziami diagnostycznymi przed uruchomieniem analizy,
• preferować elementy regularne (sześciany, czworokąty) tam, gdzie to możliwe,
• stosować techniki sweep lub mapped meshing zamiast wyłącznie automatycznej tetraedryzacji.