Błąd względny

Błąd obliczeniowy to różnica pomiędzy dokładnym rozwiązaniem a jego przybliżoną wartością uzyskaną metodą numeryczną. Sama różnica pomiędzy tymi wartościami nazywana jest błędem bezwzględnym. Wielkość ta zależy od kilku parametrów fizycznych analizowanego problemu, takich jak:

• wartość przyłożonego obciążenia,
• wymiary geometryczne analizowanego obiektu,
• właściwości materiałowe elementu, np. moduł sprężystości czy gęstość.

Dla zobrazowania można rozważyć przypadek wspornika, na którego swobodnym końcu działa siła skupiona. Przemieszczenie końca belki można obliczyć zarówno metodą analityczną (dokładną), jak i przybliżoną metodą numeryczną, np. metodą elementów skończonych. Różnica pomiędzy tymi wartościami stanowi właśnie błąd bezwzględny. Problem polega jednak na tym, że jego wartość zmienia się wraz ze zmianą wielkości obciążenia lub parametrów geometrycznych układu, dlatego nie jest on dobrym wskaźnikiem dokładności metody numerycznej.

Dlaczego stosuje się błąd względny?

Załóżmy, że dokładne przemieszczenie końca belki wynosi 0,005 m, natomiast rozwiązanie przybliżone daje wynik 0,004 m przy obciążeniu równym 1 N. Błąd bezwzględny wynosi wówczas 0,001 m. Jeśli jednak siła wzrośnie dziesięciokrotnie, to przemieszczenie zwiększy się proporcjonalnie, a błąd bezwzględny również wzrośnie, mimo że dokładność metody obliczeniowej pozostaje taka sama. W takiej sytuacji mogłoby się wydawać, że jakość rozwiązania uległa pogorszeniu, choć w rzeczywistości tak nie jest.

Aby uniknąć takiej błędnej interpretacji, w analizach numerycznych stosuje się błąd względny, który jest niezależny od skali obciążenia czy wymiarów analizowanego obiektu.

Definicja błędu względnego

Błąd względny definiuje się jako stosunek błędu bezwzględnego do wartości odniesienia i zwykle wyraża się go w procentach. W analizie metodą elementów skończonych wartością odniesienia bywa często całkowita energia odkształcenia układu.

Błąd względny pozwala więc na obiektywną ocenę jakości rozwiązania numerycznego, ponieważ nie zależy bezpośrednio od skali obciążenia ani od wielkości geometrycznych analizowanego modelu.

Zastosowanie błędu względnego w analizie MES

Błąd względny wykorzystywany jest m.in. do:

• oceny dokładności rozwiązania numerycznego,
• kontroli zbieżności obliczeń,
• określania dopuszczalnej tolerancji błędu w symulacjach,
• porównywania jakości różnych modeli lub zagęszczeń siatki MES.