Błąd modelowania

Proces odtwarzania i analizy zjawisk fizycznych może być realizowany dwiema podstawowymi metodami: eksperymentalną oraz numeryczną. W podejściu eksperymentalnym zjawisko fizyczne odwzorowuje się przy użyciu rzeczywistego modelu (np. w skali) oraz odpowiedniego stanowiska badawczego. W podejściu numerycznym zachowanie układu opisywane jest matematycznie za pomocą równań różniczkowych wraz z odpowiednimi warunkami brzegowymi i początkowymi.

Proces tworzenia takiego opisu nazywany jest modelowaniem. Proces ten obejmuje między innymi:

• przygotowanie modelu geometrycznego w systemie CAD lub środowisku analizy MES,
• dobór właściwości materiałowych, takich jak moduł Younga, współczynnik Poissona czy gęstość,
• definicję warunków brzegowych, czyli określenie zamocowań oraz sposobu przyłożenia obciążeń,
• przyjęcie odpowiednich uproszczeń fizycznych, np. symetrii modelu, pominięcia drobnych detali lub założeń liniowości,
• wybór równań opisujących dane zjawisko, które będą wykorzystane do matematycznego modelowania analizowanego procesu.

Czym jest błąd modelowania?

Błąd modelowania (ang. modeling error) to różnica pomiędzy rzeczywistym zachowaniem układu fizycznego a jego reprezentacją eksperymentalną lub matematyczną. Błąd ten pojawia się na etapie budowy modelu i wynika głównie z koniecznych uproszczeń oraz idealizacji przyjmowanych w analizie.

Do najczęstszych przyczyn błędu modelowania należą:

• uproszczenia geometrii (np. pominięcie drobnych detali lub wykorzystanie symetrii),
• przyjęcie uproszczonych modeli materiałowych (np. liniowość lub izotropowość materiału),
• przybliżone warunki brzegowe i ograniczenia przestrzenne,
• uproszczenia w opisie matematycznym zjawisk fizycznych.

Przykładem może być eksperyment w tunelu aerodynamicznym, w którym bada się przepływ powietrza wokół modelu samolotu. Tunel ma jednak ograniczone wymiary, przez co nie odwzorowuje nieskończonej przestrzeni atmosfery. Podobne uproszczenia występują również w analizach numerycznych, gdzie stosuje się przybliżone formy równań Naviera–Stokesa lub inne uproszczone modele fizyczne.

Błąd modelowania a błąd numeryczny

W analizie metodą elementów skończonych (MES) często zwraca się uwagę głównie na błąd numeryczny, który wynika z procesu dyskretyzacji modelu, zastosowanych algorytmów obliczeniowych czy ograniczeń precyzji obliczeniowej komputerów.

Warto jednak pamiętać, że nawet bardzo dokładne rozwiązanie numeryczne nie będzie wartościowe, jeśli sam model matematyczny został zbudowany w sposób nieprawidłowy. Dlatego w analizie inżynierskiej kluczowe jest rozróżnienie pomiędzy błędem numerycznym a błędem modelowania.

Całkowity błąd analizy numerycznej można traktować jako sumę dwóch składników:

• błędu modelowania,
• błędu numerycznego.

Oznacza to, że celem analizy inżynierskiej nie jest jedynie minimalizacja błędu numerycznego poprzez zagęszczanie siatki czy stosowanie dokładniejszych algorytmów, lecz przede wszystkim stworzenie wiarygodnego i fizycznie poprawnego modelu matematycznego.