Metoda Newmarka – podstawy całkowania w czasie

Uogólnione drugie prawo Newtona, uwzględniające lepkość, opisuje ruch dynamiczny obiektu za pomocą równań różniczkowych wiążących przyspieszenie, prędkość i przemieszczenie. W analizach dynamicznych, szczególnie w metodzie elementów skończonych (MES), równania te muszą zostać rozwiązane numerycznie w kolejnych chwilach czasu.

Proces ten polega na wyznaczeniu wartości odpowiedzi dynamicznej w dyskretnych krokach czasowych. W tym celu konieczne jest zdefiniowanie warunków początkowych, a następnie sekwencyjne obliczanie rozwiązań w kolejnych przedziałach czasu. Ponieważ równania ruchu są całkowane względem czasu, metody te określa się mianem metod całkowania w czasie.

Metody całkowania w czasie

Metody całkowania w czasie dzielą się na dwie główne grupy:

• metody jawne – w których stan w kolejnym kroku czasowym obliczany jest bez rozwiązywania układu równań,
• metody niejawne – wymagające rozwiązania układu równań w każdym kroku czasowym.

Metoda Newmarka jest jedną z najbardziej znanych i powszechnie stosowanych niejawnych metod całkowania w czasie.

Charakterystyka metody Newmarka

Metoda Newmarka, znana również jako metoda beta Newmarka lub metoda stałego uśrednionego przyspieszenia, została opracowana przez prof. Nathana Newmarka (1910–1981) na Uniwersytecie Illinois.

Główne cechy metody Newmarka to:

• niejawny charakter obliczeń,
• bezwarunkowa stabilność dla typowych wartości parametrów,
• gwarancja zbieżności rozwiązania niezależnie od długości kroku czasowego,
• brak diagonalizacji macierzy masy – wykorzystywana jest pełna macierz układu.

Z uwagi na konieczność rozwiązywania kosztownych równań macierzowych w każdym kroku czasowym, metoda Newmarka jest mniej wydajna obliczeniowo niż metody jawne. Dlatego rzadziej stosuje się ją w bardzo dużych modelach dynamicznych, gdzie kluczowa jest szybkość obliczeń.

Parametry metody Newmarka

Metoda Newmarka wykorzystuje dwa parametry numeryczne:

• β (beta)
• γ (gamma)

Najczęściej stosowane wartości dla tej metody to:

• β = 1/4
• γ = 1/2

Taki dobór parametrów zapewnia stabilność rozwiązania i odpowiada metodzie stałego uśrednionego przyspieszenia, szeroko wykorzystywanej w analizach dynamicznych MES.

Zastosowanie w analizach MES

Metoda Newmarka (inaczej metoda stałego uśrednionego przyspieszenia) jest powszechnie stosowana w:

• analizach dynamicznych konstrukcji,
• symulacjach drgań wymuszonych i swobodnych,
• analizach sejsmicznych,
• zagadnieniach dynamicznych z tłumieniem.

Jej wysoka stabilność sprawia, że jest szczególnie przydatna w analizach, w których dokładność ma większe znaczenie niż czas obliczeń.