Koło Mohra

Naprężenia w dowolnym punkcie ciała poddanego obciążeniu są zawsze określane względem przyjętego układu współrzędnych. Wynika to z faktu, że naprężenie definiuje się jako siłę przypadającą na jednostkę powierzchni działającą w określonym kierunku. Z tego względu zmiana orientacji układu współrzędnych powoduje zmianę wartości składowych naprężeń, mimo że rzeczywisty stan naprężenia w materiale pozostaje taki sam.

Koło Mohra na przykładzie praktycznym

Przykładowo, rozważmy pręt o przekroju kołowym obciążony siłą działającą wzdłuż jego osi. Jeśli kierunek osi pręta przyjmiemy jako oś x, w przekroju prostopadłym do tej osi występuje wyłącznie naprężenie normalne równe ilorazowi siły i pola przekroju. Jednak po obrocie układu współrzędnych przekrój analizowany nie będzie już prostopadły do osi pręta. W takiej sytuacji naprężenie normalne ulega zmniejszeniu, a dodatkowo pojawia się naprężenie styczne wynikające z rozkładu siły na nowe kierunki osi.

Zmieniając kąt obrotu układu współrzędnych można otrzymać różne wartości naprężeń normalnych i stycznych w tym samym punkcie materiału. Zależność między naprężeniami oraz kątem obrotu można opisać matematycznie, a jej graficzną interpretacją jest koło Mohra.

Koło Mohr’a jest wykresem na płaszczyźnie, w którym:

• oś pozioma przedstawia naprężenia normalne σ,
• oś pionowa przedstawia naprężenia styczne τ.

Punkty należące do okręgu reprezentują wszystkie możliwe kombinacje naprężeń normalnych i stycznych w danym punkcie materiału przy różnych orientacjach układu współrzędnych.

Zastosowanie koła Mohra

Koło Mohr’a jest wygodnym narzędziem graficznym pozwalającym analizować stan naprężenia w materiale. Na jego podstawie można łatwo wyznaczyć:

• naprężenia główne,
• maksymalne naprężenia styczne,
• kierunki naprężeń głównych,
• zależność naprężeń od obrotu układu współrzędnych.

W analizach metodą elementów skończonych (MES) koło Mohra ma znaczenie interpretacyjne, ponieważ programy obliczeniowe wyznaczają w każdym punkcie modelu pełny tensor naprężeń. Na podstawie tych składowych można obliczyć naprężenia główne oraz naprężenia maksymalne styczne, które odpowiadają punktom charakterystycznym koła Mohra. Dzięki temu możliwa jest ocena bezpieczeństwa konstrukcji oraz identyfikacja miejsc koncentracji naprężeń.

Koło Mohra a trójwymiarowy stan naprężeń

W przypadku trójwymiarowego stanu naprężeń konstruuje się trzy koła Mohra odpowiadające kombinacjom naprężeń głównych:

• między naprężeniami głównymi σ₁ i σ₂,
• między naprężeniami głównymi σ₂ i σ₃,
• między naprężeniami głównymi σ₁ i σ₃.

Pozwala to na pełną graficzną interpretację przestrzennego stanu naprężenia w materiale.