Błąd analizy numerycznej

Podczas analizy dowolnego zjawiska fizycznego – zarówno metodami eksperymentalnymi, jak i przy użyciu symulacji komputerowych – uzyskane wyniki zwykle różnią się od rzeczywistego przebiegu badanego zjawiska. Różnica ta określana jest jako błąd analizy. W ogólnym ujęciu błąd analizy można podzielić na dwie główne kategorie:

• błąd modelowania – wynikający z uproszczeń fizycznych i matematycznych przyjętych podczas tworzenia modelu, takich jak idealizacja geometrii, uproszczone modele materiałowe czy przyjęte warunki brzegowe,
• błąd numeryczny – związany z przybliżonym sposobem rozwiązywania równań matematycznych, wynikającym z dyskretyzacji modelu, zastosowanych algorytmów obliczeniowych oraz ograniczonej precyzji obliczeń komputerowych.

Źródła błędu numerycznego w metodzie elementów skończonych

W kontekście metody elementów skończonych (MES) błąd numeryczny wynika przede wszystkim z procesu dyskretyzacji dziedziny oraz aproksymacji funkcji rozwiązania przy pomocy funkcji bazowych (najczęściej wielomianów). Aby rozwiązanie przybliżone było identyczne z rozwiązaniem analitycznym, należałoby zastosować funkcje bazowe o nieskończonym rzędzie, co w praktyce jest niemożliwe. Z tego powodu rozwiązania uzyskiwane w MES są zawsze rozwiązaniami przybliżonymi, a ich dokładność zależy m.in. od rzędu funkcji aproksymujących oraz jakości siatki elementów.

Dobrym przykładem analogicznym jest działanie kalkulatorów elektronicznych, które obliczają wartości funkcji trygonometrycznych lub wykładniczych poprzez rozwinięcie ich w szereg potęgowy. Dokładność wyniku zależy wówczas od liczby wyrazów szeregu uwzględnionych w obliczeniach. Podobna zależność występuje w MES – liczba stopni swobody, rząd elementów (tzw. p-refinement) oraz zagęszczenie siatki (h-refinement) wpływają bezpośrednio na dokładność rozwiązania.

Czynniki wpływające na błąd analizy numerycznej

W praktyce na błąd analizy numerycznej wpływa wiele dodatkowych czynników związanych zarówno z modelem, jak i z procedurą obliczeniową. Do najważniejszych czynników wpływających na błąd analizy numerycznej należą:

• dokładność danych materiałowych,
• precyzja określenia warunków brzegowych i kontaktowych,
• sposób modelowania więzów oraz zamocowań,
• dobór parametrów numerycznych (np. krok czasowy w analizie dynamicznej),
• tolerancje zbieżności solvera,
• zaokrąglenia numeryczne wynikające z reprezentacji zmiennoprzecinkowej w komputerze.

Metody redukcji błędu numerycznego

Jednym z podstawowych sposobów zmniejszania błędu numerycznego jest zwiększenie dokładności aproksymacji poprzez zmianę parametrów modelu numerycznego. Najczęściej stosowane metody zmniejszania błędu numerycznego obejmują:

• zagęszczanie siatki elementów (h-refinement),
• zwiększanie rzędu funkcji kształtu elementów (p-refinement),
• zmniejszanie kroku czasowego (Δt) w analizach przejściowych.

W nowoczesnych analizach coraz częściej wykorzystuje się także adaptacyjną metodę elementów skończonych (Adaptive FEM). Polega ona na automatycznej modyfikacji siatki lub rzędu elementów w obszarach, w których lokalny błąd przekracza dopuszczalny poziom.

Znaczenie właściwego zrozumienia źródeł błędów

Rozwój mocy obliczeniowej współczesnych komputerów oraz zaawansowane algorytmy adaptacyjne pozwalają skuteczniej kontrolować błędy numeryczne. Niezależnie jednak od możliwości sprzętowych, kluczowe znaczenie ma właściwe zrozumienie źródeł błędów oraz świadome dobieranie parametrów symulacji, tak aby uzyskane wyniki były nie tylko szybkie, ale przede wszystkim wiarygodne z inżynierskiego punktu widzenia.